已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，
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已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）
f"（x）=3ax2+2bx，则f"（1）=3a+2b…（3分）
由条件f′(1)•(-)=-1，即3a+2b=9②式…（5分）
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x3+3x2，f"（x）=3x2+6x，
令f"（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2，…（8分）
∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
∴[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3 |
举一反三
已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{an}满足=f′()，且a1=4，求数列{an}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{an}，求证：a1+a2+a3+…+ak＜5（k=1，2，3…）． |
| 已知曲线f（x）=x3+x2+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2ax2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交截得的线段长度为______． |
| 已知抛物线f（x）=2x2-x上一点P（3，f（3））及附近一点P"（3+△x，f（3+△x）），则割线PP′的斜率为kPP′==______，当△x趋近于0时，割线趋近于点P处的切线，由此可得到点P处切线的一般方程为______． |
| 已知点P在曲线y=x3-x+上移动，若经过点P的曲线的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______． |
已知函数f(x)=．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围． |
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