已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),f′(x)是f(x)的导函数,且f′(0)=2n,(n∈N*).(1)求a的值;(2)若数列{an}
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已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),f′(x)是f(x)的导函数,且f′(0)=2n,(n∈N*).(1)求a的值;(2)若数列{an}
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx的图象过点(-4n,0),f′(x)是f(x)的导函数,且f′(0)=2n,(n∈N
*
).
(1)求a的值;
(2)若数列{a
n
}满足
1
a
n+1
=f′(
1
a
n
)
,且a
1
=4,求数列{a
n
}的通项公式;
(3)对于(II)中的数列{a
n
},求证:a
1
+a
2
+a
3
+…+a
k
<5(k=1,2,3…).
答案
(1)由已知,可得f"(x)=2ax+b,
∴
b=2n
16
n
2
a-4nb=0.
解之得
a=
1
2
.
(2)∵
1
a
n+1
=
1
a
n
+2n
,
∴
1
a
n+1
-
1
a
n
=2n
.
由
1
a
2
-
1
a
1
=2×1
1
a
3
-
1
a
2
=2×2
1
a
4
-
1
a
3
=2×3
1
a
n
-
1
a
n-1
=2(n-1)
,
累加得
1
a
n
-
1
4
=
n
2
-n
(n=2,3).
∴
a
n
=
1
n(n-1)+
1
4
=
4
(2n-1)
2
(n=2,3).
当
n=1 时,
4
(2n-1)
2
=4=
a
1
∴
a
n
=
4
(2n-1)
2
(n=1,2,3).
(3)当k=1时,由已知a
1
=4<5显然成立;
当k≥2时,
a
k
=
1
k(k-1)+
1
4
<
1
k(k-1)
=
1
k-1
-
1
k
(k≥2)
则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
k
<4+[(1-
1
2
) +(
1
2
-
1
3
)+… +(
1
k-1
-
1
k
)
]=5
-
1
k
<5
综上,a
1
+a
2
+a
3
+…+a
k
<5(k=1,2,3)成立.
举一反三
已知曲线f(x)=x
3
+x
2
+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2ax
2
相切,则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交截得的线段长度为______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线f(x)=2x
2
-x上一点P(3,f(3))及附近一点P"(3+△x,f(3+△x)),则割线PP′的斜率为
k
PP′
=
f(3+△x)-f(3)
△x
=______,当△x趋近于0时,割线趋近于点P处的切线,由此可得到点P处切线的一般方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点P在曲线
y=
1
3
x
3
-x+
2
3
上移动,若经过点P的曲线的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1+lnx
x
.
(1)如果a>0,函数在区间
(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式
f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x),g(x)满足f(1)=1,f′(1)=1,g(1)=2,g′(1)=1,则函数
F(x)=
f(x)-2
g(x)
的图象在x=1处的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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