(Ⅰ)由题设知a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-). 令f′(x)=0得x1=0,x2=. 当(i)a>0时, 若x∈(-∞,0),则f"(x)>0, 所以f(x)在区间(-∞,)上是增函数; 若x∈(0,),则f"(x)<0, 所以f(x)在区间(0,)上是减函数; 若x∈(,+∞),则f"(x)>0, 所以f(x)在区间(,+∞)上是增函数; (ii)当a<0时, 若x∈(-∞,),则f"(x)<0, 所以f(x)在区间(-∞,)上是减函数; 若x∈(0,),则f"(x)<0, 所以f(x)在区间(0,)上是减函数; 若x∈(,0),则f"(x)>0, 所以f(x)在区间(,0)上是增函数; 若x∈(0,+∞),则f"(x)<0, 所以f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知,曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值, 且函数y=f(x)在x=0,x=处分别是取得极值f(0)=1-,f()=--+1. 因为线段AB与x轴有公共点,所以f(0)•f()≤0. 即(--+1)(1-)≤0. 所以≤0. 故(a+1)(a-3)(a-4)≤0,且a≠0. 解得-1≤a<0或3≤a≤4. 即所求实数a的取值范围是[-1,0)∪[3,4]. |