如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的14圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB和CDO通过极短的水平轨道（长度忽略不

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如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的

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圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB和CDO通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的

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倍，（取g为10m/s²）．
（1）试求高度H的大小？
（2）试讨论此球能否到达CDO轨道的最高点O，并说明理由？
（3）求小球沿轨道运动后经多长时间再次落回轨道上？

答案

（1）设小球通过D点的速度为v，则有：
m

v2

R 2

=F=

14

3

mg
小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有mg（H+

R

2

）=

1

2

mv2
可得高度H=

2

3

R=10m
（2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为v_c，有m

vC2

R 2

=mg
小球至少应从H_c高处落下，mgHC=

1

2

mvC2
解得HC=

R

4

   由H＞H_C，小球可以通过O点．
（3）小球由H落下通过O点的速度为v0=

2gH

=14.1m/s
小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，有
x=v₀t
y=

1

2

gt2      
且x²+y²=R²
可解得时间t=1s  （另解舍弃）  
答：（1）高度H的大小为10m；
（2）能到达CDO轨道的最高点O；
（3）小球沿轨道运动后经1s再次落回轨道上．