如图甲所示，在一水平放置的隔板MN的上方，存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示．O为隔板上的一个小孔，通过O点可以从不同方向向磁场区域发射电量为

题型：不详难度：来源：

如图甲所示，在一水平放置的隔板MN的上方，存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示．O为隔板上的一个小孔，通过O点可以从不同方向向磁场区域发射电量为+q，质量为m，速率为v的粒子，且所有入射的粒子都在垂直于磁场的同一平面内运动．不计重力及粒子间的相互作用．
（1）如图乙所示，与隔板成45°角的粒子，经过多少时间后再 次打到隔板上？此粒子打到隔板的位置与小孔的距离为多少？
（2）所有从O点射入的带电粒子在磁场中可能经过区域的面积为多少？
（3）若有两个时间间隔为t₀的粒子先后射入磁场后恰好在磁场中给定的P点相遇，如图丙所示，则P与O之间的距离为多少？

答案

（1）、与隔板成45°角的粒子进入磁场后的轨迹如图1所示，设粒子在磁场中的运动半径为R，
           则有：qvB=m

v2

R

…①
         粒子在磁场中运动的周期：T=

2πR

v

…②
        由于粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为270°，
        则粒子在磁场中运动的时间为：t=

3

4

T…③
            由①②③得      t=

3πm

2qB

…④
        到达隔板的位置与小孔0的距离为：

2

R=

2 mv

qB

…⑤


（2）所有通过O点射入的带电粒子可能经过的区域如图2所示．
        由图知面积为：S=

3

2

πR2…⑥
       代入得：S=

3π(mv)2

2(qB)2

…⑦
（3）设OP间的距离为x，如图3所示：以OP为弦可画两个半径相同的圆分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，
   设θ为两粒子射入方向的夹角，由几何关系知∠P0₁Q₁=∠P0₂Q₂=θ，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆弧加弧长R_θ，
粒子2的路程为半个圆弧减弧长R_θ
   粒子1的运动时间为：

t

1

=

1

2

T+

Rθ

v

（其中T为圆周运动的周期）…⑧
   粒子2的运动时间为：

t

2

=

1

2

T-

Rθ

v

…⑨
则两粒子射入的时间间隔：t0=t1-t2=2

Rθ

v

…⑩
而：Rcos

θ

2

=

x

2

…（11）
由①⑩（11）得，x=

2mv

qB

cos

qBt0

4m

…（12）
答：（1）粒子经过 t=

3πm

2qB

时间后再次打到隔板上．此粒子打到隔板的位置与小孔的距离为

2 mv

qB

．
    （2）所有从O点射入的带电粒子在磁场中可能经过区域的面积为S=

3π(mv)2

2(qB)2

．
    （3）P与O之间的距离为x=

2mv

qB

cos

qBt0

4m

．