如图，倾角为θ的粗糙斜面的底端有一凹形小滑块，在底端竖直线上离底端高度为H处有一个小球，小球以一定的水平速度v0抛出．（1）要使小球垂直打在斜面上，试推导小球离

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如图，倾角为θ的粗糙斜面的底端有一凹形小滑块，在底端竖直线上离底端高度为H处有一个小球，小球以一定的水平速度v₀抛出．
（1）要使小球垂直打在斜面上，试推导小球离斜面底端的高度H与小球速度v₀之间的关系．
（2）若斜面倾角θ=37°，凹形小滑块的质量m=1kg，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25．现小滑块以某一初速度从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方的小球以初速度3m/s水平抛出，经过一段时间，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．求小滑块运动的时间和小滑块的动能变化量．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）

答案

（1）小球做平抛运动：
v₀=v_ytanθ，v_y=gt，
小球下落的高度：h1=

1

2

gt2，
小球的水平位移：x=v₀t，
小球的落点到斜面底端的竖直高度：h₂=xtanθ，
综上可得，小球抛出点到斜面底端的竖直高度：
H=h1+h2=

v02

2g

(2+cot2θ)；
（2）小滑块运动的时间与小球的时间相同：
t=

v0

gtanθ

=0.4s，
滑块运动的位移：s=

x

cosθ

=1.5m，
滑块受到的合外力：F=mgsinθ+μmgcosθ=8N，
根据动能定理可得滑块的动能变化量为：△E_K=-Fs=-12J；
答：（1）小球离斜面底端的高度H与小球速度v₀之间的关系为H=h1+h2=

v02

2g

(2+cot2θ)；
（2）小滑块运动的时间为0.4s，小滑块的动能变化量为-12J．