如图所示，ABDO悬处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径R=15m的四分之一圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中

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如图所示，ABDO悬处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径R=15m的四分之一圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央，一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的

倍。(g=10 m/s²)
(1)求H的大小；
(2)试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由；
(3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？

答案

解：(1)设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力为F。则有

小球从P点落下直到沿光滑轨道运动到D的过程中，由机械能守恒，有

由上二式可得

(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为v_c，则有

设小球至少应从H_c高处落下，且满足

由上二式可得

，故可知小球可以通过O点
(3)小球由H落下通过O点的速度为：

小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，建立如图所示的坐标系，有：

x=v₀t，

且x²+y²=R²由上三式可解得：t=1 s
落到轨道上速度的大小为

举一反三

如图所示，一个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中圆轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点，一个质量为m的小球以初速度v₀沿AB运动，刚好能通过圆轨道的最高点D，则在这个过程中

[ ]
A．小球质量m越大，所需的初速度v₀越大
B．圆轨道半径R越大，所需的初速度v₀越大
C．初速度v₀与小球质量m、轨道半径R均无关
D．小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v₀

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如图所示，一长为2L的轻杆中央有一光滑的小孔O，两端分别固定小球A和B，小球A和B质量分别为m和2m，光滑的铁钉穿过轻杆小孔垂直钉在竖直的墙壁上，将轻杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置，在转动的过程中，忽略空气的阻力，下列说法正确的是

[ ]
A．在转动到竖直位置的过程中，A球机械能的增加等于B球机械能的减少
B．在转动到竖直位置的过程中，A，B两球组成系统的重力势能的减少等于系统动能的增加
C．在竖直位置两球的速度大小均为

D．由于忽略一切摩擦阻力，根据机械能守恒，杆一定能绕铁钉做完整的圆周运动

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如图所示，在竖直平面内有一个半径为R且光滑的四分之一圆弧轨道AB，轨道上端A与一光滑竖直轨道相切，轨道下端B与水平轨道BCD相切，BC部分光滑且长度大于R，C点右边轨道粗糙程度均匀且足够长。现有长也为R的轻杆，轻杆两端固定两个质量均为m的完全相同的小球a，b（可视为质点），用某装置控制住上面的小球a，使轻杆竖直且下面的小球b与A点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触，重力加速度为g。求：
(1)小球b到达C点时的速度大小；
(2)若小球b过C点后，滑行s距离后停下，而且s>R，试求小球与粗糙平面间的动摩擦因数。

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如图所示，一个半径为R的圆轨道竖直固定在水平地面上，斜面AB与圆轨道在B点相切，在圆轨道B点处开有一小孔，有一可看作质点的小球从斜面上距离地面高为h的A点无初速滚下，从B点进入圆轨道，所有摩擦不计。关于小球的运动情况，下述说法中正确的是

[ ]
A．只有当

，小球才不会脱离轨道
B．只要当h≥2R，小球就不会脱离轨道
C．当h≥R时，小球一定会脱离圆轨道
D．当h＜R时，小球不会脱离轨道

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如图所示，一竖直光滑绝缘的管内有一劲度系数为k的绝缘弹簧，其下端固定于地面，上端与一质量为m，带电量为+q的小球A相连，整个空间存在一竖直向上的匀强电场，小球A静止时弹簧恰为原长。另一质量也为m的不带电的绝缘小球B从距A为x₀的P点由静止开始下落，与A发生碰撞后一起向下运动(全过程中小球A的电量不发生变化，重力加速度为g)。
(1)若x₀已知，试求B与A碰撞过程中损失的机械能；
(2)若x₀未知，且B与A在最高点恰未分离，试求A，B运动到最高点时弹簧的形变量；
(3)在满足第(2)问的情况下，试求A，B运动过程中的最大速度。

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