如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B1．虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点．在MN上方是正交的匀强电场

题型：不详难度：来源：

如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O₁在x轴上，OO₁距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B₁．虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点．在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B₂．B₁、B₂方向均垂直纸面，方向如图所示．有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q（粒子重力不计）．求：
（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径．
（2）若撤去磁场B₂，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标．
（3）若撤去磁场B₂，设粒子进入磁场的初速度与x轴的夹角为θ，试写出粒子打到y轴上的坐标与θ的关系式．

答案

（1）在MN上方，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，故qv₀B₂=Eq；
解得：v0=

E

B2

由题意知粒子在磁场B₁中圆周运动半径与该磁场半径相同，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
qv₀B₁=m

v 20

R

解得R=

mv0

qB1

=

mE

qB1B2

（2）在电场中粒子做类平抛运动：
x=R=

Eqt2

2m

y=v0t=

E

B2

2mR Eq

=

mE

qB2

2 B1B2

故y′=y+R=

mE

qB2

(

2 B1B2

+

1

B1

)
（3）设粒子出B₁磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，

找出轨迹圆心，可以看出四边形OO₁O₂Q四条边等长是平行四边形，所以半径O₂Q与OO₁平行．从Q点出磁场速度与O₂Q垂直，所以垂直进入MN边界．
由几何关系：x_Q=R-Rsinθ
粒子在电场中偏转，x_Q=

1

2

at²y′′=R+v₀t a=

qE

m

解上式得：y′′=

mE

qB1B2

+

mE

q B 2

2(1-sinθ) B1B2

答：（1）粒子初速度大小为，有界半圆磁场的半径为

mE

qB1B2

；
（2）若撤去磁场B₂，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标为

mE

qB2

(

2 B1B2

+

1

B1

)；
（3）粒子打到y轴上的坐标与θ的关系式为y′′=

mE

qB1B2

+

mE

q B 2

2(1-sinθ) B1B2

．