1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计

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1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。
(1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
(2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间；
(3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为B_m、f_m，试讨论粒子能获得的最大动能E_km。

答案

解：(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r₁，速度为v₁
qU=
qv₁B=m
解得r₁=
同理，粒子第2次经过狭缝后的半径r₂=
则r₂：r₁=：1
(2)设粒子到出口处被加速了n圈
2nqU=mv²
qvB=m
T=
t=nT
解得
(3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f=
当磁感应强度为B_m时，加速电场的频率应为f_Bm=
粒子的动能E_k=mv²
当f_Bm≤f_m时，粒子的最大动能由B_m决定
qv_mB_m=
解得E_km=
当f_Bm≥f_m时，粒子的最大动能由f_m决定
v_m=2πf_mR
解得E_km=2π²mR²