设P0(x0,y0,z0)是条件极值问题minu(x,y,z)=x2+2y2+3z2s.tz−(x...

题目

设P₀（x₀，y₀，z₀）是条件极值问题

minu(x，y，z)＝x2+2y2+3z2 s．tz−(x−1)2−y2−1＝0

的解，且x₀²+2y₀²+3z₀²=R²．又设π₁，π₂分别是曲面x²+2y²+3z²=R²和曲面z-（x-1）²-y²-1=0在点P₀（x₀，y₀，z₀）的切平面，则（　　）

A．π₁与π₂互相垂直
B．π₁与π₂重合
C．π₁与π₂的法线的夹角是45°
D．A，B，C都不正确

答案

由题意，设L（x，y，z；λ）=x2+2y2+3z2+λ[z-（x-1）2-y2-1]，则P0（x0，y0，z0）满足Lx＝2x−2λ(x−1)Ly＝4y−2λyLz＝6z+λz−(x−1)2−y2−1＝0…①又π1，π2在点P0（x0，y0，z0）的法向量分别为：2（x0，2y0...

首先，将P₀（x₀，y₀，z₀）满足的极值问题的条件求出来；然后求出π₁，π₂在点P₀（x₀，y₀，z₀）的法向量；最后判断两者法向量的关系．

本题考点：利用拉格朗日乘数法求条件极值；曲面的切平面与法线．

考点点评：此题考查条件极值的拉格朗日乘数法和曲面切平面的法向量求法，是基础知识点的综合．