已知幂函数f(x)=x−1/2p2+p+3/2(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数(x).
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已知幂函数f(x)=x−1/2p2+p+3/2(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数(x).
题目
已知幂函数f(x)=
x
答案
∵幂函数f(x)=
x
−
1
2
p
2
+p+
3
2
在(0,+∞)上是增函数,
所以-
1
2
p
2
+p+
3
2
>0,
解得-1<p<3.
又由p∈Z,
所以p=0、1、2.
当p=0时,f(x)=
x
3
2
,不是偶函数,不符合题意;
当p=1时,f(x)=x
2
,是偶函数,符合题意;
当p=2时,f(x)=
x
3
2
,不是偶函数,不符合题意.
故p=1,对应的函数为f(x)=x
2
.
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