双曲线与椭圆4x^2+y^2=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程是y=√2x,则这个双曲线的方程是

题目

双曲线与椭圆4x^2+y^2=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程是y=√2x,则这个双曲线的方程是
求详细的过程啊,

答案

椭圆方程为x^2/(1/4)+y^2=1,a=1,b=1/2,c=√3/2
椭圆焦点在y轴上,故双曲线焦点也在y轴上
设双曲线方程为y^2/m^2-x^2/n^2=1,
则其渐近线为y=±mx/n,
其一条渐近线为y=√2x,则m/n=√2 (1)
双曲线与椭圆有相同焦点,则c^2=m^2+n^2 (2)
(1)(2)联立,解得 m=1/√2,n=1/2
∴双曲线方程为 2y^2-4x^2=1