已知椭圆与双曲线x2−y23=1有公共的焦点,且椭圆过点P(0,2).(1)求椭圆方程的标准方程;(2)若直线l与双曲线的渐近线平行,且与椭圆相切,求直线l的方程.
题目
已知椭圆与双曲线
x2−=1有公共的焦点,且椭圆过点P(0,2).
(1)求椭圆方程的标准方程;
(2)若直线l与双曲线的渐近线平行,且与椭圆相切,求直线l的方程.
答案
(1)设椭圆方程为
+=1 (a>b>0).
双曲线
x2-=1 的焦点坐标分别为(-2,0)(2,0),
∴椭圆焦点坐标分别为(-2,0)(2,0),∴c=2,即a
2=b
2+4,
又椭圆过点P(0,2),则0+
=1,
∴b
2=4,得a
2=8,
∴所求椭圆方程的标准方程为
+=1;
(2)双曲线渐近线方程:y=
±x,
设直线l:y=
±x+m,
代入椭圆方程得:7x
2±4
mx+2m
2-8=0,
由相切得:△=48m
2-28(2m
2-8 )=0,解得m=
±2 ∴直线l的方程是:y=
±x
±2.
(1)求出双曲线
x2−=1 的焦点坐标分别为(-2,0)(2,0),即c=2;设出椭圆的标准方程,利用椭圆过点P(0,2),求出a
2,b
2;
(2)双曲线渐近线方程是y=
±x,设直线l:y=
±x+m,根据直线与椭圆相切解出m的值.
双曲线的简单性质.
本题考查了双曲线的简单性质与椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,解答的关键是利用直线与椭圆相切的条件△=0求出待定系数.
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