已知函数f(x)=(1/2)x^2-alnx(a∈R)

题目

已知函数f(x)=(1/2)x^2-alnx(a∈R)
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值
（2）若函数f（x）在（1,正无穷）为增函数,求a的取值范围

答案

f(x)=(1/2)x²-alnx,(a∈R,x>0),
导函数f′(x)=x-(a/x)
=(x²-a)/x
（1）∵函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,
∴f′(2)=1,即(4-a)/2=1,
∴a=2,f(x)= (1/2)x²-2lnx,
∴f(2)=2-2ln2,
切线y=x+b过点(2,2-2ln2),
∴b= -2ln2；
（2）∵函数f（x）在（1,＋∞）为增函数,
∴f′(x) =(x²-a)/x≥0在（1,＋∞）上恒成立.
即x²≥a在（1,＋∞）上恒成立.
∵当x>1时,x²>1,
∴a≤1,即a的取值范围是（－∞,1].