12.（1）已知2的x次方+2的-x次方=a（a为常数）,求8的x次方+8的-x次方的值

题目

12.（1）已知2的x次方+2的-x次方=a（a为常数）,求8的x次方+8的-x次方的值
（2）已知x+y=12,xy=9,且x＜y,求（x的1/2次方-y的1/2次方）/（x的1/2次方+y的1/2次方）的值

答案

1.
已知2^x＋2^(-x)＝a
∴[2^x＋2^(-x)]^3＝(2^x)^3＋3·(2^x)^2·[2^(-x)]＋3·(2^x)·[2^(-x)]^2＋[2^(-x)]^3
＝{(2^x)^3＋[2^(-x)]^3}＋3{(2^x)^2·[2^(-x)]＋3·(2^x)·[2^(-x)]^2}
＝[(2^3)^x＋(2^3)^(-x)]＋3[2^x＋2^(-x)]
＝[(2^3)^x＋(2^3)^(-x)]＋3a
＝a^3
∴8^x＋8^(-x)＝a^3－3a
2.
令m＝x^(1/2),n＝y^(1/2)
则x＝m^2,y＝n^2,且m > 0,n > 0
已知x＋y＝12,xy＝9,即
m^2＋n^2＝12………………(1)
m^2·n^2＝9…………………(2)
(2)化为：2mn＝6……………(3)
(1)＋(3),得：(m＋n)^2＝18
(1)－(3),得：(m－n)^2＝6
∵x ＜ y
∴n > m > 0,即m－n < 0
∴m＋n＝sqrt(18),m－n＝-sqrt(6)
∴[x^(1/2)－y^(1/2)]/[x^(1/2)＋y^(1/2)]
＝(m－n)/(m＋n)＝-sqrt(6)/sqrt(18)＝-1/sqrt(3)
＝-sqrt(3)/3