若方程(1/4)x+(1/2)x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是 _.
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若方程(1/4)x+(1/2)x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是 _.
题目
若方程
(
1
4
)
答案
设t=
(
1
2
)
x
,则有:
a=-[
(
1
2
)
2x
+
2(
1
2
)
x
]
=-t
2
-2t=-(t+1)
2
+1.
原方程有正数解x>0,则0<t=
(
1
2
)
x
<
(
1
2
)
0
=1,
即关于t的方程t
2
+2t+a=0在(0,1)上有实根.
又因为a=-(t+1)
2
+1.
所以当0<t<1时有1<t+1<2,
即1<(t+1)
2
<4,
即-4<-(t+1)
2
<-1,
即-3<-(t+1)
2
+1<0,
即得-3<a<0.
故答案为:(-3,0)
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