设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=32．已知点P(0，3/2)到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆方程．

题目

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

．已知点P(0，

3

2

)到这个椭圆上的点的最远距离为

7

，求这个椭圆方程．

答案

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)，M（x，y）为椭圆上的点，由ca=32得a=2b，|PM|2=x2+(y-32)2=4b2-4y2+y2-3y+94=-3(y+12)2+4b2+3(-b≤y≤b)，若b＜12，则当y=-b时|PM|2最大，即(-b-32)2=7，∴b=7-32＞12，故...

先设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1 (a＞b＞0)，M（x，y）为椭圆上的点，由离心率得a=2b，利用两点间的距离公式表示出|PM|²若b＜

1

2

，则当y=-b时|PM|²最大，这种情况不可能；若b≥

1

2

时，y＝−

1

2

时4b²+3=7，从而求出b值，最后求得所求方程．

本题考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义；椭圆的标准方程．

考点点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．