设0小于等于X小于等于2,求函数y=4的x-1/2次方--2的x+1次方+5的最大值和最小值

题目

设0小于等于X小于等于2,求函数y=4的x-1/2次方--2的x+1次方+5的最大值和最小值

答案

首先,对原函数进行化简：
y=4^(x-0.5)-2^(x+1)+5=2^(2x-1)-2^(x+1)+5
令t=2^x,得到：
y=1/2*t^2-2t+5=1/2*[(t-2)^2+6]；
因为0≤x≤2,所以：1≤t≤4；
对于y=1/2*[(t-2)^2+6],
当t=2时,取得最小值：y=1/2*6=3；
当1≤t≤2时,函数y单调递减,左端为y=1/2*[1+6]=3.5；
当2≤t≤4时,函数y单调递增,右端为y=1/2*[2^2+6]=5；
故最大值为5.
综上,函数y的最大值为5,最小值为3