已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)讨论F(x)=af(x)-b/xf(x)的奇偶性.
题目
已知幂函数
f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论
F(x)=a-的奇偶性.
答案
(1)
f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3,由题意知m(m-2)为奇数又m∈z
且f(x)在(0,+∞)上递减,
∴m=1,f(x)=x
-4(2)
F(x)=a-=a•x-2-b•x3(x≠0)∵y=x
-2是偶函数,y=x
3是奇函数
①a≠0且b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
②a=0且b≠0时,F(x)为奇函数;
③a≠0且b=0时,F(x)为偶函数;
④a=b=0时,F(x)为奇且偶函数
(1)由幂函数f(x)为(0,+∞)上递减,推知m2-2m-3<0,解得-1<m<3因为m为整数故m=0,1或2,又通过函数为偶函数,推知m2-2m-3为偶数,进而推知m2-2m为奇数,进而推知m只能是1,把m代入函数,即可得到f(x)的解析式.
(2)把f(x)的解析式代入F(x),得到F(x)的解析式.然后分别讨论a≠0且b≠0时,a=0且b≠0时,a≠0且b=0时,a=b=0时,函数的奇偶性.
奇偶性与单调性的综合;幂函数的性质.
本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用.要理解好函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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