向量证明三角形重心定理

题目

向量证明三角形重心定理
三角形ABC,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF、CD交于点O,设向量AB=向量a,向量AC=向量b
（1）证明AOE三点在同一直线上,且AO：OE=BO：OF=CO：OD=2
（2）用a、b表示向量AO

答案

向量BO与向量BF共线,故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线,故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2,x/2=1-y,
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF,向量CO=2/3CD,
即BO：OF=CO：OD=2.
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
从而向量AO=2/3向量AE,
即向量AO与向量AE共线,所以A、O、E三点共线,
且有AO：OE=2.