若x,y为正实数,且x+y=4,则根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值是多少?
题目
若x,y为正实数,且x+y=4,则根号(x^2+1)+根号(y^2+4)的最小值是多少?
答案
【1】∵x+y=4.∴y=4-x.
∴式子z=√(x²+1)+ √(y²+4)可化为:
Z=√[(x-0) ²+(0+1) ²]+√[(x-4) ²+(0-2) ²].(0<x<4)
易知,这个式子的几何意义是:
X正半轴上的一个动点P(x,0)到两个定点M(0,-1),N(4,2)距离的和,即
Z=|PM|+|PN|.
【2】由“两点之间,直线段最短”可知,
连接两定点M,N.与x正半轴于点P(4/3,0),此时Zmin=|MN|=5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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