已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,3x(n+1)+2y(n)=7,6x(n)+y(n+1)=13,证xn=3^n+2 ,yn=1-2*3^n

题目

已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,3x(n+1)+2y(n)=7,6x(n)+y(n+1)=13,证xn=3^n+2 ,yn=1-2*3^n

用两种方法
直接求 还有数学归纳法证

答案

本题第一式有误,应为2x(n+1)+3y(n)=7①；第二式为6x(n)+y(n+1)=13②；由①得2x(n+2)+3y(n+1)=7③；②式两边乘3得18x(n)+3y(n+1)=39④；④-③并整理得[x(n+2)-2]/[x(n)-2]=3^2,所以[x(n+1)-2]/[x(n)-2]=3,所以x(n)-2=[x(1)-2]3^(n-1),将x(1)=5代入并整理得x(n)=2+3^n⑤；由⑤得x(n+1)=2+3^(n+1),代入①得y(n)=1-2×3^n⑥；⑤、⑥即为本题的解(从⑤、⑥解出x(n+1)、y(n+1),将x(n)、x(n+1)、y(n)、y(n+1)代入①、②即可验证解的正确性,用不着数学归纳法；更严密的解法是特征方程法).