循环节长度是四的纯循环小数化成最简分数后,分母是三位数,这样的循环小数有多少个.

题目

循环节长度是四的纯循环小数化成最简分数后,分母是三位数,这样的循环小数有多少个.

答案

0.ABCDABCD……
= ABCD.ABCDABCD …… - ABCD
= 10000*0.ABCDABCD…… - ABCD
即
ABCD = 9999*0.ABCDABCD……
0.ABCDABCD…… = ABCD / 9999
9999=3×3×11×101
化简为分母为三位数,即分母只能为101、303、909（分别是在9999中约去了99、33、11）
则
①从1到100,与101互质的数有100个
②从1到302,与303互质的数有302 - 100 - 2 = 200个
③从1到908,与909互质的数有908 - 302 - 8 + 2 = 600个
综上,这样的循环小数有100+200+600 = 900个