设f（x）是定义在（－∞,∞）上的周期为T的连续函数,试证明：对任意的常数a,都有

题目

设f（x）是定义在（－∞,∞）上的周期为T的连续函数,试证明：对任意的常数a,都有
∫〈上限a+T下限a〉f(x)dx=∫〈上限T下限0〉f(x)d(x)成立.

答案

∫〈上限a+T下限a〉f(x)dx=∫〈上限0下限a〉f(x)dx+∫〈上限T下限0〉f(x)dx+∫〈上限a+T下限T〉f(x)dx,又∫〈上限a+T下限T〉f(x)dx=∫〈上限a下限0〉f(x+T)dx=-∫〈上限0下限a〉f(x)dx,所以上式成立