若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为_．

题目

若关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为______．

答案

关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根x≠0，
两边除以x²，得x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=0，（1）
设y=x+

1

x

，则|y|=|x|+

1

|x|

≥2，
（1）变为 y²-2+ay+a=0，有根
分离变量得a=

2−y2

y+1

=

1

y+1

+1-y，
在y≥2，或y≤-2时，a是减函数，
当y=2时，a=-

2

3

；当y=-2时，a=2．
∴a≤-

2

3

，或a≥2．
则实数a的取值范围为 (−∞，−

2

3

]∪[2，+∞)．
故答案为：(−∞，−

2

3

]∪[2，+∞)．