已知函数f（x）=x2-2|x|-1（-3≤x≤3）． （1）证明函数f（x）是偶函数； （2）画出这个函数的图象； （3）根据函数的图象，指出函数f（x）的单调区间，并说出在各个区间上f（x）的单调

题目

已知函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）．
（1）证明函数f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）根据函数的图象，指出函数f（x）的单调区间，并说出在各个区间上f（x）的单调性；
（4）求函数f（x）的值域．

答案

（1）∵函数f（x）的定义域为[-3，3]，
∴定义域关于原点对称，
又f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）对应的图象为：
（3）由图象可知，函数f（x）的单调区间为[-3，-1]，[-1，0]，[0，1]，[1，3]．
其中递增区间为[-1，0]，[1，3]．，递减区间为[-3，-1]，[0，1]．
（4）当0≤x≤3时，f（x）=（x-1）²-2的最小值且f（1）=-2，最大值为f（3）=2．
当-3≤x≤0时，f（x）=（x+1）²-2的最小值且f（-1）=-2，最大值为f（-3）=2．
故函数f（x）的值域是[-2，2]．