设函数f(x)=x^3/3-x^2-3x-3a(a>0),若x属于[a,3a]时,f(x)>=恒成立,求a的取值范围

题目

设函数f(x)=x^3/3-x^2-3x-3a(a>0),若x属于[a,3a]时,f(x)>=恒成立,求a的取值范围

答案

f(x)大于等于0恒成立
f(x)=1/3x^3-x^2-3x+3a
令f‘(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0,得到x.=-1（极大值）、3（极小值）,
x在(负无穷,-1)和(3,正无穷)上单调递增,在(-1,3)上单调递减
当0=0就可以保证f(x)大于等于0成立
即f(a)=a(a^2+6a-9)>=0.最终得到a>3.
当1==3.