设函数f(x)=ex-e-x (Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

设函数f(x)=ex-e-x (Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

题目
设函数f(x)=ex-e-x
(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;
(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=ex+e-x
由于ex+e−x≥2
exe−x
=2
,故f'(x)≥2.
(当且仅当x=0时,等号成立).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,则g'(x)=f'(x)-a=ex+e-x-a,
(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,
故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.
(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为x1=ln
a+
a2−4
2

此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.
所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.
综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2].
(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2
ab
当且仅当a=b时取等号.得到f'(x)≥2;
(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)-ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x≥0上求出a的取值范围即可.

导数的运算;利用导数求闭区间上函数的最值.

考查学生利用导数运算的能力,利用导数求闭区间上函数的最值的能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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