已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-x （1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k有4个解，求k的范围．

题目

已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-x
（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k有4个解，求k的范围．

答案

（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x²-x
∴f（-x）=x²+x
∵f（x）是偶函数
∴f（x）=f（-x）=x²+x
∴f(x)＝

x2−x，x≥0 x2+x，x＜0

（2）x≥0时，f（x）=x²-x=(x−

1

2

)2−

1

4

x＜0时，f（x）=x²+x=(x+

1

2

)2−

1

4

故函数图象如图．
（3）若方程f（x）=k有4个解，根据（2）的图象可知−

1

4

＜k＜0

（1）先设x＜0，则-x＞0，转化到（0，+∞）上，用当x≥0时，f（x）=x2-x，求得解析式；（2）先将函数分别配方≥0时，f（x）=x2-x=(x−12)2−14，x＜0时，f（x）=x2+x=(x+12)2−14，从而可得函数图象；（3）根据（2）的图象，即可得结论．

本题考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题主要考查利用奇偶性求对称区间上的解析式，考查函数的图象，注意要求哪个区间上的解析式，要在哪个区间上取变量时关键．