双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线

题目

双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线
双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线
1) 求双曲线的方程.
2) 过点P(0 ,4)的直线与双曲线交于A 、B两点,交X轴于Q点(Q与C的顶点不重合)
当向量PQ=λ1向量QA+λ2向量QB且λ1+λ2=－8/3时,求Q点坐标
主要是第二问.

答案

(1)设双曲线的方程为
x^2/a^2-y^2/b^2=1则
a^2+b^2=4
b/a=√3
得a=1 b=√3
∴x^2-y^2/3=1
(2)应该是PQ=λ1QA=λ2QB
记A(x1,y1) B(x2,y2)
直线AB：y-4=kx
x^2-y^2/3=1
x1+x2=-8k/(k^2-3)
x1x2=19/(k^2-3)
由PQ=λ1QA=λ2QB得
-4=λ1y1=λ2y2即
λ1=-4/(kx1+4)
λ2=-4/(kx2+4)
λ1+λ2=-4[k(x1+x2)+8]/[4k(x1+x2)+k^2x1x2+16]
得k^2=4
∴xQ=±2