函数f(x)=ax^2 lnx+bx^2-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,(a、b、c为常数).

题目

函数f(x)=ax^2 lnx+bx^2-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,(a、b、c为常数).
（1）试确定a,b的值
（2）讨论函数f(x)的单调区间
（3）若对任意x＞0,不等式f(x)≥-2c^2恒成立,求c的取值范围

答案

（1）因为函数在x=1处取得极值-3-c,
那么有f(1)=b-c=-3-c故得到b=-3.对函数求导,
有f'(x)=(4alnx+a+4b)x^3,
因为x=-1为函数的极值点,
所以有f'(1)=0于是有a+4b=0,于是有a=12.
（2）f(x)=(12lnx-3)x^4-c;f'(x)=48(lnx)x^3,
因为函数要有意义,所以有x>0
那么就有x^3>0所以对于f'(x)>0有x>1,
f'(x)