已知多项式ax^3+bx^2+cx+d被x^2+p整除,求证：ad+bc.

题目

已知多项式ax^3+bx^2+cx+d被x^2+p整除,求证：ad+bc.

答案

多项式ax^3+bx^2+cx+d被x^2+p整除,说明x^2+p是多项式ax^3+bx^2+cx+d的一个因式.又因为多项式ax^3+bx^2+cx+d最高次数为3次,而因式x^2+p已经有两次.所以另外一个因式为一次因式.可以假设这个因式为qx+t
所以:(qx+t)(x^2+p)=ax^3+bx^2+cx+d = qx^3+tx^2+pqx+tp
对应关系:
a=q;b=t; c=pq;d=tp
所以ad=bc=tpq.
证毕