宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？

题目

宽为a的走廊与另一走廊垂直相连，如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另一走廊的宽度至少是多少？

答案

如图，设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜

π

2

)，
设另一走廊的宽为y，∵AB＝

a

cosθ

，BC＝8a−

a

cosθ

，∴y(θ)＝BCsinθ＝8asinθ−

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)
依题意必存在一个适当的0值使y最小．
由y′(θ)＝8acosθ−

asin2θ+acos2θ

cos2θ

＝8acosθ−

a

cos2θ

令y'=0得cos3θ＝

1

8

，得csoθ＝

1

2

，θ＝

π

3

，
当cosθ＜

1

2

时，y'＜0，当cosθ＞

1

2

时，y'＞0，
∴当cosθ＝

1

2

，即θ＝

π

3

时，ymin3

3

a，即另一走廊的宽度至少是3

3

a

设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0＜θ＜

π

2

)，根据图可知y(θ)＝BCsinθ＝8asinθ−

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)整理可得函数．“如果长为8a的细杆能水平地通过拐角，求另一走廊的宽度至少是多少”，关键看函数y（θ）的最小值，先研究其单调性，用导数法，先求导，由y'（θ）＞0，y（θ）为增函数，可知当 θ＝

π

3

时，y（θ）有最小值，即可得到结论．

本题考点：在实际问题中建立三角函数模型．

考点点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，解答关键是还利用三角函数的定义求出函数表达式，再利用导数法求函数最值等．