关于抛物线焦点弦的结论

题目

关于抛物线焦点弦的结论
结论定义

答案

①过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=x1+x2+p.
证明：设抛物线的准线为L,从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D.由于L的方程是x＝-p/2,所以
|AC|=x1+p/2,|BD|=x2+p/2,
根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,
所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.
类似有：
②过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=y1+y2+p.
③过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=-x1-x2+p.
④过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).则
|AB|=-y1-y2+p.
除了以上四点之外,还有:
1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）
2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离,下同）
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时,焦点弦的长度取得最小值2p.
4、如果焦点弦的两个端点是A、B,那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2