已知a倍根号下1-b方加b倍根号1-a方等于1,求a方+b方

题目

已知a倍根号下1-b方加b倍根号1-a方等于1,求a方+b方

答案

题目不完整,是不是:
a,b>0,a倍根号1减b方加b倍根号1减a方等于1,证a方加b方等于1
设向量X=(a,b),Y=(√(1-b^2),√(1-a^2))
X*Y=a√(1-b^2)+b√(1-a^2)=√(a^2+b^2)*√(1-b^2+1-a^2)*cosθ
因为θ∈[0,π/2],所以0<=cosθ<=1
所以上面的等式,右边(去掉cosθ)>=左边,即(两边同时平方,再把已知的等式代入):
(a^2+b^2)(2-a^2-b^2)>=1
设t=a^2+b^2
t(2-t)>=1
t^2-2t+1<=0
(t-1)^2<=0
所以t=1,即a^2+b^2=1
(设t之前的解答,也可以用柯西不等式做)