变速圆周运动的向心加速度公式

题目

变速圆周运动的向心加速度公式
和匀速圆周运动的一样吗,

答案

圆周运动的向心加速度只可能与圆周运动的瞬时速率有关,因为其他的加速度都是垂直于向心方向的.
设瞬时角速度为omiga,切向加速度为a
那么经过极小时间dt的角度变化为omiga*dt,速度的变化为(v+a*dt)(exp(i omiga*dt))-v
其中exp(i*omiga*dt)=cos(omiga*dt)+isin(omiga*dt)
得到加速度为
v(cos(omiga*dt)-1+isin(omiga*dt))+a*dt(cos(omiga*dt)+isin(omiga*dt))
取切向分量（虚数部分）为：
i v sin(omiga dt) + i a dt sin(omiga dt)
由于当dt->无穷小
sin(omiga dt)/dt = omiga
因此得到加速度为：
(i v sin(omiga dt) + i a dt sin(omiga dt))/dt
=i v omiga + a sin(omiga dt)
去除第二项无穷小量,得到加速度为v*omiga,即只与速度有关,