已知双曲线x平方-y平方=2的左右焦点为F1,F2,过F2的动直线与双曲线交与A,B两点

题目

已知双曲线x平方-y平方=2的左右焦点为F1,F2,过F2的动直线与双曲线交与A,B两点
（1)若动点M满足FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量（O为坐标原点),求M的轨迹方程
（2）x轴上是否存在一点C,使CA向量*CB向量为常数?若存在,求出C

答案

①∵双曲线方程：x²/2-y²/2=1
易求得
F1(-2,0) F2（2,0）
设M(x,y).A(x1,y1) B(x2,y2)
Ⅰ当过F2直线斜率不存在时
直线为x=2
A(2,√3) B(2,-√3)
FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量
即（x+2,y）=(x₁+2,y₁)+(x₂+2,y₂)+(2,0)
得x=x₁+x₂+4=8
y=y₁+y₂=0
M(8,0)
Ⅰ当k存在时,设过F2的动直线为y=k(x-2).
联立y=k(x-2)
x²-y²=1
得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0 （k≠±1）
x₁+x₂= -4k²/(1-k²) x₁x₂=(-4k²-2)/(1-k²)
又∵FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量
即（x+2,y）=(x₁+2,y₁)+(x₂+2,y₂)+(2,0)
得x=x₁+x₂+4=-2k²/(1-k²) +4=8- 4/(1-k²)
y=y₁+y₂=k(x₁-2)+k(x₂-2)=k(x₁+x₂)-4k=-4k³/(1-k²) -4k=(-4k)/(1-k²)
即1/(1-k²)=y/(-4k)
即x=8- 4/(1-k²)=8+ y/k 得k=y/(x-8)
∴x=8- 4/(1-k²)
即x-8= -4/(1-k²)= -4/(1- y²/(x-8)²)=-4(x-8)²/((x-8)²-y²)
即1=-4(x-8)/((x-8)²-y²)
即（x-8）²-y²= -4(x-8)
化简得x²-12x-y²+32=0
综上,M点轨迹方程为x²-12x-y²+32=0
②假设存在C
令C（m,0）
CA向量*CB向量=P
则P=（x₁-m）(x₂-m)+y₁y₂
=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+k²(x₁x₂-2(x₁+x₂)+4)
=(-4k²-2)/(1-k²)①+4mk²/(1-k²)⑤+m²+(-4k⁴-2k²)/(1-k²)②+8k⁴/(1-k²) ③+ (4k²-4k⁴)/(1-k²)④
①+②+③+④=(-4k²-2-4k⁴-2k²+8k⁴+4k²-4k⁴)/(1-k²)
=(-2-2k²)/(1-k²)=2- 4/(1-k²)
又⑤=-4m +4m/(1-k²)
∴P=m²-4m+2 +(4m-4)/(1-k²)
∵无论k为何值时（k≠±1）.p为常数
∴4m-4=0
解得m=1
∴C(1,0).假设成立