已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根.求f(x)解析式;
题目
已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根.求f(x)解析式;
已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)解析式;(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求m,n的值;如果不存在,说明理由.
答案
(1)
f(-x+5)=f(x-3)
a(x-5)^2+b(5-x)=a(x-3)^2+b(x-3)
a[(x-5)^2-(x-3)^2]+b[(5-x)-(x-3)]=0
a(x-5+x-3)(x-5-x+3)+b(8-2x)=0
2a(8-2x)+b(8-2x)=0
(2a+b)(8-2x)=0
x在定义域上任意取值,则只有2a+b=0 b=-2a
方程f(x)=x
ax^2-2ax=x
ax^2-(2a+1)x=0
x[ax-(2a+1)]=0
x=0或x=(2a+1)/a
两根相等
(2a+1)/a=0 a=-1/2 b=1
f(x)的解析式为f(x)=-x^2/2+x
(2)
f(x)=-x^2/2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2
函数对称轴为x=1
n≤1时,函数单调递增.
令f(m)=3m
3m=-m^2/2+m,整理,得m(m+4)=0 m=-4或m=0
f(n)=3n
n(n+4)=0 n=0或n=-4
m=-4,n=0满足题意.
m>1时,函数单调递减
令f(m)=3n f(n)=3m
3n=-m^2/2+m
3m=-n^2/2+n
6(n-m)=(n+m)(n-m)-(n-m)
整理,得
(n-m)(n+m-7)=0
n+m-7=0 n=7-m>1 1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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