已知定义在R上的函数f(x)=ax^3-3x,a为常数,且x=1是函数f(x)的一个极值点

题目

已知定义在R上的函数f(x)=ax^3-3x,a为常数,且x=1是函数f(x)的一个极值点
1）求a
2）过点A(1,m)可做曲线y=f((x)的三条切线,求m的取值范围

答案

f'(x)=3ax^2-3=0 a=1
f(x)=x^3-3x
f'(x)=3x^2-3
y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) 切线方程
m=(3x0^2-3)(1-x0)+x0^3-3x0
3x0-3x0^3-3+3x0+x0^3-3x0-m=0
-2x0^3+3x0+3-m=0
2x^3-3x-(3-m)=0 存在三个不同的解设 g(x)=2x^3-3x-(3-m)
g'(x)=6x^2-3 =0
x1=-根号2/2 x2=根号2/2
根据 g(x1)>0 g(x2)