已知直线l:y=kx+2(k为常数)过椭圆x2a2+y2b2=1((a>b>0)的上顶点B和左焦点F,直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d、(1)若d=23,求k的值;(2)若d≥4/55,求椭圆离
题目
已知直线l:y=kx+2(k为常数)过椭圆
+
=1((a>b>0)的上顶点B和左焦点F,直线l被圆x
2+y
2=4截得的弦长为d、
(1)若d=2
,求k的值;
(2)若d≥
,求椭圆离心率e的取值范围.
答案
(1)取弦的中点为M,连接OM由平面几何知识,OM=1,
OM=
=1.
解得k
2=3,k=±
.
∵直线过F、B,∴k>0,
则k=
.
(2)设弦的中点为M,连接OM,
则OM
2=
,
d
2=4(4-
)≥(
)
2,
解得k
2≥
.
e
2=
==≤,
∴0<e≤
.
(1)若d=2
,求k,先有平面几何的知识求出点O到直线l的距离,再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离,如此得方程.
(2)用斜率k表示出弦长d,代入d≥
,解出k的范围,将离心率用k表示出来,利用单调性求出离心率的范围,
直线的斜率;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.
考查直线与圆,与圆锥曲线的位置关系,本题的解题特点是把位置关系转化为方程或方程组,这是此类题的常见方式.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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