已知二次函数f（x），当x=1/2时有最大值25，且f（x）=0的两根立方和为19，求f（x）的解析式．

题目

已知二次函数f（x），当x=

1

2

答案

∵二次函数f（x），当x=

1

2

时有最大值25，∴可设f（x）=a（x-

1

2

）²+25=ax²-ax+

a

4

+25，
设f（x）=0的两根为 m、n，则 m+n=1，mn=

1

4

+

25

a

，
∵f（x）=0的两根立方和为19，
∴m³+n³=（m+n）（m²+n²-mn ）=（m+n）[（m+n）²-3mn]=1×[1-3（

1

4

+

25

a

）]=19
解得 a=-4，
∴f（x）=-4(x−

1

2

)2+25．