爱因斯坦的质能公式是怎么推出来的?

题目

爱因斯坦的质能公式是怎么推出来的?

答案

第一步：要讨论能量随质量变化,先要从量纲得知思路：
能量量纲[E]=[M]([L]^2)([T]^(-2)),即能量量纲等于质量量纲和长度量纲的平方以及时间量纲的负二次方三者乘积.
我们需要把能量对于质量的函数形式化简到最简,那么就要求能量函数中除了质量,最好只有一个其它的变量.
把([L]^2)([T]^(-2))化简,可以得到只有一个量纲-速度[V_]的形式：
[V_]*[V_].
也就是[E]=[M][V_]*[V_]
可见我们要讨论质能关系,最简单的途径是从速度v_下手.
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第二步：先要考虑能量的变化
与能量的变化有关的有各种能量形式的转化,其中直接和质量有关的只有做功.
那么先来考虑做工对于能量变化的影响.
当外力F_(后面加_表示矢量,不加表示标量)作用在静止质量为m0的质点上时,每产生ds_（位移s_的微分）的位移,物体能量增加
dE=F_*ds_(*表示点乘).
考虑最简化的 外力与位移方向相同的情况,上式变成
dE=Fds
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第三步：怎样把力做功和速度v变化联系起来呢?也就是说怎样来通过力的作用效果来得出速度的变化呢?
我们知道力对物体的冲量等于物体动量的增量.那么,通过动量定理,力和能量就联系起来了：
F_dt=dP_=mdv_
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第四步：上式中显然还要参考m质量这个变量,而我们不想让质量的加入把我们力和速度的关系复杂化.我们想找到一种办法约掉m,这样就能得到纯粹的速度和力的关系.
参考dE=Fds和F_dt=dP_,我们知道,v_=ds_/dt
那么可以得到
dE=v_*dP_
如果考虑最简单的形式：当速度改变和动量改变方向相同：
dE=vdP
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第五步：把上式化成能量和质量以及速度三者的关系式（因为我们最初就是要讨论这个形式）：
dE=vd(mv)----因为dP=d(mv)
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第六步：把上式按照微分乘法分解
dE=v^2dm+mvdv
这个式子说明：能量的增量含有质量因速度增加而增加dm产生的能量增量和单纯速度增加产生的能量增量2个部分.（这个观点非常重要,在相对论之前,人们虽然在理论物理推导中认识到质量增加也会产生能量增量,但是都习惯性认为质量不会随运动速度增加而变化,也就是误以为dm恒定为0,这是经典物理学的最大错误之一.）
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第七步：我们不知道质量随速度增加产生的增量dm是怎样的,现在要研究它到底如何随速度增加（也就是质量增量dm和速度增量dv之间的直接关系）：
根据洛仑兹变换推导出的静止质量和运动质量公式：
m=m0[1-(v^2/c^2)]^(-1/2)
化简成整数次幂形式：
m^2=(m0^2)[1-(v^2/c^2)]
化成没有分母而且m和m0分别处于等号两侧的形式（这样就是得到运动质量m对于速度变化和静止质量的纯粹的函数形式）：
(m^2)(c^2-v^2)=(m0^2)c^2
用上式对速度v求导得到dm/dv（之所以要这样做,就是要找到质量增量dm和速度增量dv之间最直接的关系,我们这一步的根本目的就是这个）：
d[(m^2)(c^2-v^2)]/dv=d[(m0^2)c^2]/dv(注意式子等号右边是常数的求导,结果为0)
即
[d(m^2)/dv](c^2-v^2)+m^2[d(c^2-v^2)/dv]=0
即
[m(dm/dv)+m(dm/dv)](c^2-v^2)+(m^2)[0-2v]=0
即
2m(dm/dv)(c^2-v^2)-2vm^2=0
约掉公因式2m(肯定不是0,运动质量为0?没听说过)
得到：
(dm/dv)(c^2-V^2)-mv=0
即
(dm/dv)(c^2-V^2)=mv
由于dv不等于0（我们研究的就是非静止的情况,运动系速度对于静止系的增量当然不为0）
(c^2-v^2)dm=mvdv
这就是我们最终得到的dm和dv的直接关系.
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第八步：有了dm的函数,代回到我们第六步的能量增量式
dE=v^2dm+mvdv
=v^2dm+(c^2-v^2)dm
=c^2dm
这就是质能关系式的微分形式,它说明：质量的增量与能量的增量成正比,而且比例系数是常数c^2.
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最后一步：推论出物体从静止到运动速度为v的过程中,总的能量增量：
对上一步的结论进行积分,积分区间取质量从静止质量m0到运动质量m,得到
∫dE=∫[m0~m]c^2dm
即
E=mc^2-m0c^2
这就是 物体从静止到运动速度为v的过程中,总的能量增量.
其中
E0=m0c^2称为物体静止时候的静止能量.
Ev=mc^2称为物体运动时候的总动能（运动总能量）.
总结：对于任何已知运动质量为m的物体,可以用E=mc^2直接计算出它的运动动能