求证一数列是柯西数列

题目

求证一数列是柯西数列
数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)
求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限

答案

∵数列{x[n]},x[n+1]=1+1/(X[n]+1)
∴采用不动点法,设：y=1+1/(y+1),即：y^2=2
解得不动点是：y=±√2
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)
={(x[n]+2)/(x[n]+1)-√2}/{(x[n]+2)/(x[n]+1)+√2}
={(x[n]+2)-√2(x[n]+1)}/{(x[n]+2)+√2(x[n]+1)}
={(1-√2)x[n]-(√2-2)}/{(1+√2)x[n]+(√2+2)}
={(1-√2)(x[n]-√2)}/{(1+√2)(x[n]+√2)}
={(1-√2)/(1+√2)}{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
=(2√2-3){(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}
∵x[1]=1
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=2√2-3
∴{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}是首项和公比均为2√2-3的等差数列
即：(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(2√2-3)(2√2-3)^(n-1)=(2√2-3)^n
x[n]-√2=x[n](2√2-3)^n+√2(2√2-3)^n
x[n][1-(2√2-3)^n]=√2[1+(2√2-3)^n]
∴{x[n]}的通项公式：x[n]=√2[1+(2√2-3)^n]/[1-(2√2-3)^n]
∵2√2-3=√8-√9
∴-1N时,有|x[n]-x[m]|