关于概率中事件的公式!

题目

关于概率中事件的公式!

答案

有一次取得白球”,即“两次都取得红球”.
由1）的结果得 P=1-P（A1A2）=1-
4) P（A1B2∪B1B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）
=
例1.5 乒乓球盒中有12个球,其中8个是没有用过的新球.第一次比赛时从其中任取3个使用,用后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取3个,求这3个球都是新球的概率.
分析 事件“第二次比赛时取出的球都是新球”是第一次取用3个球后发生的.而第一次比赛可能“用了0个新球”、“用了1个新球”、“用了2个新球”、“用了3个新球”,分别用B0,B1,B2,B3表示.且B0∪B1∪B2∪B3=Ω,BiBj=φ（i≠j）,i,j=0,1,2,3.因此,它可用加法公式与乘法公式计算,也可用全概率公式计算.
解法I 设事件A={第二次取出的3个球都是新球},
事件Bi（i=0,1,2,3）表示“第一次比赛用了i个新球”,
则 B0∪B1∪B2∪B3=Ω, BiBj=φ. (i, j=1,2,3.)
A=A(B0∪B1∪B2∪B3)=AB0∪AB1∪AB2∪AB3 , 且ABi∩ABj=φ,
故 P（A）=P(AB0)+P(AB1)+P(AB2)+P(AB3).
又 P（AB0­）=P（B0）P（A|B0）= .
同理有
P（AB1）=, P（AB2）=, P（AB3）=,
所以 P（A）=
=≈0.0972.
解法II A , Bi（i=0,1,2,3） 如解法I.
则 P（Bi）=, P(A|Bi)=.
由全概率公式有
P（A）A= =.
例1.6 甲、乙、丙三人各自去破译一个密码,他们能译出的概率分别为,试求：
1） 恰有一人译出的概率；
2） 密码能破译的概率.
分析 设Ai（i=1,2,3）分别表示甲、乙、丙三人能译出的事件,故{恰有一人译出},A1∪A2∪A3={密码能破译}.
因为三人各自破译,故A1,A2,A3相互独立,所以利用独立性可解该题.
解 1） 设Ai（i=1,2,3）分别表示甲、乙、丙三人能破译的事件,
由题设A1,A2,A3 相互独立.令A={三人中恰有一人能破译}
则 .
易知,事件两两互不相容,故
P（A）=P（）
=
而 P= P（A1）[1-P（A2）][1-P（A3）]
=.
同理有 P（）=[1-P（A1）]P（A2）[1-P（A3）]=,
P（）=[1-P（A1）][1-P（A2）]P（A3）=
因此 P（A）=
2) 设B={密码能破译},则B=A1∪A2∪A3. 注意到A1,A2,A3相互独立,
故有 P（A1∪A2∪A3）=1- P()P()P()
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
=1-.
例1.7 三战士射击敌机,一射驾驶员,一射油箱,一射发动机主要部件,命中的概率分别为1/3,1/2,1/2各人射击是独立的.任一人射中,敌机即被击落,求击落敌机的概率.
解法I 设A,B,C分别表示三名战士在射击中命中目标这三件事,
则A,B,C是独立的.然而是相容的（可能有两人都命中或三人同时命中）.
敌机被击落可表示为A∪B∪C,故
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=
解法II 依题意,有 P(A∪B∪C)=1-P(
=1-P()P()P()=1-[1-P（A）][1-P（B）][1-P（C）]
=1-（1-）（1-）（1-）=
例1.8 在长度为a的线段内任取两点,将其分成三段,求它们可以构成一个三角形的概率.
解 如图建立坐标yox, 设线段被分成的三段长分别为x,y和a-x-y,
则 基本事件集为由0