已知函数f(x)=lg(x+a/x+1-1),其中a是大于零的常数. (1)求函数f(x)的定义域; (2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)的最小值; (3)若∀x∈[0,+∞)恒有f(x)>0,试
题目
已知函数
f(x)=lg(x+-1),其中a是大于零的常数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)的最小值;
(3)若∀x∈[0,+∞)恒有f(x)>0,试确定实数a的取值范围.
答案
(1)
x+-1>0,>0,
因为a>0,故当a>1时,定义域为(-1,+∞);
当a=1时,定义域为(-1,0)∪(0,+∞);
当0<a<1时,定义域为
(-1,-)∪(,+∞).
(2)令
g(x)=x+-1=x+1+-2,
当a∈(1,4)时,由(1)得x∈(-1,+∞),故x+1>0,
所以
g(x)=x+-1=x+1+-2≥2-2,
当且仅当
x+1=即
x=-1时等号成立.
故f(x)的最小值为
lg(2-2).
(3)∀x∈[0,+∞),恒有f(x)>0,
即
x+-1>1,>2-x,又x∈[0,+∞),
则a>(2-x)(x+1),a>-x
2+x+2恒成立,故a>
.
(1)、函数f(x)的定义域要求)
x+-1>0,>0,解这个分式不等式时,因为含有参数a,所以要分类讨论.
(2)、令
g(x)=x+-1=x+1+-2,当a∈(1,4)时,由函数f(x)的定义域可知x+1>0,从而利用均值不等式求出函数f(x)的最小值.
(3)、由题设条件可知,
x+-1>1,>2-x,能推导出a>(2-x)(x+1)恒成立,从而推导出实数a的取值范围.
对数函数图象与性质的综合应用;对数函数的定义域;基本不等式在最值问题中的应用.
本题是对数函数的综合题,难度较大,在解第(1)题时要注意对参数a进行妥类讨论,解第(2)题时要注意均值不等式的合理运用,解第(3)题时要进行合理转化.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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