已知函数f(x)=2sin(x+π6)-2cosx. (Ⅰ)若sinx=4/5,x∈[π2,π],求函数f(x)的值; (Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.
题目
已知函数
f(x)=2sin(x+)-2cosx.
(Ⅰ)若
sinx=,x∈[
,π],求函数f(x)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.
答案
(Ⅰ)∵
sinx=,x∈[
,π],∴
cosx=-.…(2分)
又
f(x)=2(sinx+cosx)-2cosx…(3分)
=
sinx-cosx,…(4分)
∴
f(x)=+.…(6分)
(Ⅱ)
f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),…(8分)
∴
T==2π,…(10分)
∵x∈R,∴
-2≤2sin(x-)≤2,…(11分)
所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[-2,2]. …(12分)
(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系求出cosx,再利用三角函数的恒等变换化简f(x),从而求得结果.
(Ⅱ)根据
f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),求出周期和值域.
三角函数中的恒等变换应用;同角三角函数间的基本关系;三角函数的周期性及其求法.
本题主要考查同角三角函数的基本关系,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域、值域 及周期性,属于中档题.
举一反三
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