如图，⊙O的弦AB、CD交于点P，AB=CD．求证：OP平分∠BPD．

题目

如图，⊙O的弦AB、CD交于点P，AB=CD．求证：OP平分∠BPD．

答案

证明：
连接OB、OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
则由垂径定理得：BM=

1

2

AB，DN=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
由勾股定理得：OM²=OB²-BM²，ON²=OD²-DN²，
∵OB=OD，BM=DN，
∴OM=ON，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OP平分∠BPD．