二项式（1/三次根号下x-x/2)^n展开式第五项的二项式系数是第三项系数的4倍

题目

二项式（1/三次根号下x-x/2)^n展开式第五项的二项式系数是第三项系数的4倍
求展开式中的所有的有理项

答案

（1/三次根号下x-x/2)^n
第五项的二项式系数为C(n,4)
第三项系数为C(n,2)*(-1/2)²=1/4C(n,2)
∴C(n,4)=4*(1/4C(n,2))=C(n,2)
∴n=6
Tr+1=C(6,r)(³√x)^(6-r)*(-x/2)^r
=(-1/2)^rC(6,r)x^(2-r/3)*x^r
=(-1/2)^rC(6,r)x^(2+2r/3)
若是有理项,则x的指数为整数
即2r/3是整数,r=0,3,6
∴展开式中的所有的有理项为
T1=x²;T4=-5/2x^4,T6=1/64*x^6