已知函数f(x)=(x+2)/(x+1),X∈(0,+∞),数列{Xn},满足Xn+1=f(Xn)(n=1,2,…..),且X1=1.

题目

已知函数f(x)=(x+2)/(x+1),X∈(0,+∞),数列{Xn},满足Xn+1=f(Xn)(n=1,2,…..),且X1=1.
（1） 设An=∣Xn－√2│,证明：An+1

答案

证明：
(1)
易知Xn > 0,
故 An+1 / An = (√2 - 1 ）/ (Xn +1) < √2 - 1 < 1
(2)
由(1),设q = √2 -1 < 1,
则 Sn < A1( 1 - q^n ) / (1-q) < A1 / (1 -q ) = (√2-1)/ (2-√2) = √2/2
证毕