数列an中 a1=1 a(n+1)=2an+2^n （1）设bn=an/2^(n-1) 证明{bn}是等差数列,（2）求数列{an}的前n项和Sn

题目

数列an中 a1=1 a(n+1)=2an+2^n （1）设bn=an/2^(n-1) 证明{bn}是等差数列,（2）求数列{an}的前n项和Sn
数列an中 a1=1 a(n+1)=2an+2^n （1）设bn=an/2^(n-1) 证明{bn}是等差数列,（2）求数列{an}的前n项和Sn 急用

答案

(1)a(n+1)=2an+2^n , 两边同时除以2^n得：a(n+1)/2^n=an/2^(n-1）+1
∵bn=an/2^(n-1) ∴ b(n+1)=a(n+1)/2^n ∴ b(n+1)-bn=1 ,b1=1
∴bn=n ∴{bn}是等差数列
(2)bn=an/2^(n-1)=n ∴ an=n*2^(n-1)
∴ Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+…+n*2^(n-1)
2Sn=1*2^1+2*2^2+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
∴相减得：-Sn=1*2^0+2^1+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n
即：-Sn=(2^n-1)-n*2^n
∴ Sn=(n-1) *2^n + 1